Damped Oscillation
力学の例題
減衰振動
質量\(\ m\ \)の質点が行う減衰振動の運動方程式は、
比例定数を\(\ k\ \)、抵抗力の比例係数を\(\ \beta\ \)として、
\[
m \frac{d^2x}{dt^2} = - kx - \beta \frac{dx}{dt}
\]
となります。
抵抗が大きくない場合の質点の位置は
\(\ \omega _0 = \sqrt{\frac{k}{m}},\ \gamma = \frac{\beta}{2m},
\ \omega = \sqrt{\omega_0 ^2 - \gamma ^2} \ \)
とすると、
\[
x(t) = A_0 e^{-\gamma t} cos(\omega t + \delta)
\]
で与えられます。
定数\(\ A_0\ \)および\(\ \delta\ \)は、初期条件：
\(\ x(0) = x_0,\ v(0) = v_0 \ \)
によって決まります。
以下では、初期条件を\(\ x_0 = 4, \ v_0 = 0 \ \)
として、パラメータ\(\ \omega _0, \ \gamma \ \)の大きさに応じた運動を
javascript, canvas を用いて描画します。
時間と位置の関係(横軸:\(t\ \),縦軸:\(x\))
過減衰・臨界減衰
上ではあまり抵抗が大きくない場合、つまり
\(\ \gamma < \omega_0 \ \)
を考えていました。
抵抗が大きい場合には振動は起きず、釣り合いの位置に漸近するような異なる振る舞いをします。
以下に抵抗が大きい場合の解を示します。
\(\ \kappa = \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2} \ \) 、
\(\ B_1,B_2,C_1,C_2 \ \)は初期条件で決まる定数です。
\( \gamma > \omega _0 \ \) : 過減衰
\[
x(t) = (B_1 e^{\kappa t} + B_2 e^{-\kappa t}) e^{-\gamma t}
\]
\( \gamma = \omega_0 \ \) : 臨界減衰
\[
x(t) = (C_1 + C_2 t) e^{-\gamma t}
\]
上のシミュレーションで
\(\ \gamma/\omega_0 \ \)のパラメータを1以上にすると、
実際に過減衰・臨界減衰を見ることができます。
注意:時間の刻みに関して、実際の時間に合わせることは全く行っていません。
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