力学の例題

強制振動

質量\(\ m\ \)の質点が振動する外力を受けるときの運動を考えます。
比例定数を\(\ k\ \)、抵抗力の比例係数を\(\ \beta\ \)とし、外力 \(\ F = F_0 cos \Omega t, \ (F_0 > 0)\ \) がはたらているとすると、運動方程式は以下のようになります。 \[ m \frac{d^2x}{dt^2} = - kx - \beta \frac{dx}{dt} + F_0 cos\Omega t \] 定数を \(\ \omega _0 = \sqrt{\frac{k}{m}},\ \gamma = \frac{\beta}{2m},\ f_0 = \frac{F_0}{m}\ \) のように書き換えると、 \[ \frac{d^2x}{dt^2} + 2\gamma \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = f_0 cos\Omega t \] となります。この定常解は、 \[ x(t) = |A|cos(\Omega t + \delta) \] で与えられます。 定数\(\ A\ \)および\(\ \delta\ \)は以下の式で得られます。 \[ A = \frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 - (2\gamma \Omega)^2}},~~~~ \delta = arg(\omega_0^2 - \Omega^2 - 2i\gamma\Omega) \] 以下では、初期条件を\(\ x_0 = 4, \ v_0 = 0 \ \) として、パラメータ\(\ \omega _0, \ \gamma \ \)の大きさに応じた運動を javascript, canvas を用いて描画します。 時間が経過すると、定常解の振る舞いを見ることができます。
描写の都合により、その他のパラメータを \(\ \omega_0 = \pi,\ f_0 = 3 \times \omega_0^2\ \) としています。
また、外力の振動の様子をオレンジ色の矩形で表示します。 (振幅の値は\(\ f_0 / \omega_0^2 =3\ \)と補正してあります。)

\(\ \Omega \ / \ \omega_0\ \) :
\(\ \ \gamma \ / \ \omega_0 \ \) :

時間と位置の関係(横軸:\(t\ \),縦軸:\(x\))、オレンジ点：外力

共鳴

定常解の振幅\(\ A\ \)は、外力の振動数\(\ \Omega\ \)に依存した値をとります。 \[ A = \frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 - (2\gamma \Omega)^2}} = ~~~~ \frac{f_0}{\sqrt{[\Omega_0^2 - (\omega_0^2 - 2 \gamma^2)]^2 - 4\gamma^2 (\omega_0^2 - \gamma^2)}}~~~~ \] 上式より、抵抗が小さいときには\(\ \Omega/\omega_0\ \simeq 1\ \) で振幅が大きくなることがわかります。 これを共鳴現象と言います。
上のシミュレーションで \(\ \Omega/\omega_0 \ \)のパラメータを1に、 \(\ \gamma/\omega_0 \ \)のパラメータを0.1程度にすると 実際に共鳴現象を見ることができます。
ただし、\(\ \Omega/\omega_0 = 1\ \)で\(\ \gamma/\omega_0 \ \)を０に近づけ過ぎると描画範囲を大きく超えます。

注意:時間の刻みに関して、実際の時間に合わせることは全く行っていません。

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