力学の例題

単振動


質量\(m\)の質点が行う単振動の運動方程式は、比例定数を\(k\)として、 \[ m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx \] となります。 質点の位置は、初期条件を \( x(0) = x_0 , v(0) = v_0 \) 、角振動数を \( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \) とすると、 \[ x(t) = x_0 cos(\omega t) + \frac{v_0}{\omega} sin(\omega t) \] と与えられます。
以下では、時刻 \( t=0 \) において位置\( x_0 \)にある質点に 初速度\( v_0 \)を与えたときの粒子の運動を、 javascript, canvas を用いて描画します。

\( x_0 \) :
\( v_0 \) :
\( \omega \ \) :

単振り子

質量\(m\)の質点を長さ\(L\)の軽い糸でつるした単振り子の運動を考えます。
糸と鉛直方向のなす角を\(\theta\)とし、反時計回りを正とすると、運動方程式は次のようになります。 \[ m \frac{d^2x}{dt^2} = -Tsin\theta, ~~~~ m \frac{d^2y}{dt^2} = Tcos\theta - mg \] \(T\)は糸の張力です。 質点は半径\(L\)で円運動を行うことから、円運動の接線方向(\(\theta\)方向)について運動方程式を書き直すと、 \[ m a_\theta = -mgsin\theta, ~~~~ ( m a_r = mgcos\theta - T = 0 ) \] となります。角速度の定義： \[ v_\theta = L \frac{d\theta}{dt}, ~~~~ ( a_\theta = \frac{dv_\theta}{dt}) \] を左辺に代入し、 \(\theta\) が微小角の条件下で右辺を展開すると、 \[ mL\frac{d^2\theta}{dt^2} \thickapprox -mg\ \theta \] が得られます。
初期条件として、糸と鉛直方向のなす角度を\(\theta _0\)、 初速を0とすると、\(\theta (t\))は、 \[ \theta(t) = \theta _0 cos(\sqrt{\frac{g}{L}} t) \] で与えられます。
以下では、長さ\(L\)の軽い糸でつるした質点が上記の初期条件を満たすときの運動を javascript, canvas を用いて描画します。

\( \theta _0 (deg) \) :
\( L (cm) \ \) :

注意:時間の刻みに関して、実際の時間に合わせることは全く行っていません。 長さを変えることで相対的に周期の変化を見ることはできますが、実際の値(単位：秒)で得られている保証はありません。
また、振り子のシミュレーションは微小角でのみ成り立ちます。

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