第２量子化
1. 第２量子化とは
第２量子化は、量子多体系の解析及び表現のために用いられる場の演算子である。
場の演算子は、位置rにある電子を１つ消滅させる消滅演算子\(\psi(r)\)と、そのエルミート共役の、位置rに電子を1つ付け加える生成演算子\(\psi^{\dagger}(r)\)がある。
2. 1粒子状態の表現
空間中に電子が1つだけの場合を第２量子化を用いて説明する。
電子が全くいない状態を\(|0\rangle\)と書き、これを真空状態とし生成演算子\(\psi^{\dagger}(r)\)と作用させると
\[
\psi^{\dagger}(r)|0\rangle = |r \rangle
\]
となる。これが第一量子化(ブラケット表記)の方法における位置基底との対応関係となる。
また、消滅演算子\(\psi(r)\)は、
\[
\psi(r)|0\rangle = 0
\]
となることを要請する。
位置が確定した状態だけでなく様々な状態の記述も可能である。
例えば、\(\alpha\)番目のエネルギー固有状態\(|\alpha\rangle\)に電子を1つ付け加える生成演算子\(c^{\dagger}_{\alpha}\)を構成する。
\[
|\alpha\rangle = \int d^3 r|r\rangle \langle r|\alpha\rangle
\]
\[
= \int d^3 r(\langle r|\alpha\rangle) |r\rangle
\]
だから、\(c^{\dagger}_{\alpha}\)は、
\[
c^{\dagger}_{\alpha}|0\rangle = \int d^3 r(\langle r|\alpha\rangle) |r\rangle
\]
\[
= \int d^3 r(\langle r|\alpha\rangle)\Psi^{\dagger}(r) |0\rangle
\]
基底において、自由電子系のハミルトニアンに対し波数\(k\)の固有状態を指定でき、
\[
\psi(r) = \sum_{k} \psi_{k}(r)c_{k}
\]
\[
=\frac{1}{\sqrt{V}}\sum_{k} e^{ikr} c_{k}
\]
と与えられる。